电抗器电磁场求解的有限元法

      电抗器电磁场求解的有限元法
      有限元法是以变分法或者加权剩余法为基础，结合分块逼近技术，形成系统化的数值计算方法。有限元把求解区域离散化，即求解的区域划分成互相联结又互不重叠的一定形状的有限子个子区域，这些子区域称为“单元”和“有限元”，在单元中选择插值函数，对各个单元进行分析，建立单元有限元方程，汇总成总体有限元方程，进而求解。

      有限元的插值函数由单元的形状和要求逼近的阶数所确定。一般的计算区域可以是一维、二维或者是三维的。单元形状有一维单元即直线单元，对应有一维线性插值函数，一维二次插值函数和拉格朗日插值函数：二维包括三角形单元、矩形单元和任意四边形单元，对应有三角形单元插值函数，矩形单元插值函数，埃尔米特插值多项式，其中矩形单元插值函数又可分为：矩形单元线形插值，矩形单元的二次插值和等参元。四边形单元；三维包括有四个顶点的四面体单元和八个顶点的八面体单元，对应有四面体单元的插值函数和矩形六面体单元的插值函数ⅢJ，针对不同的单元可以选择不同的插值函数。

      单元方程的建立有两种方法，一是里兹方法的求解公式，另一个是伽辽金方法的求解公式，利用上述两种方法的任一种，写出单元方程。然后，将单元方程对所有单元求和，得到方程组，这个过程叫组合。最后，应用边界条件求得方程组的最终形式。

      其中，关于边界条件在2．3．2节中已经详细介绍，这里主要说明的是，在电抗器电磁场的求解中，有两种边界条件经常用到，一是狄利克雷边界条件，它给出了边界处的中值；另一类是齐次诺曼边界条件，它要求边界处①的法向导数为零。第一类边界条件是必要边界条件，它必须显示地强加在计算中；第二类边界条件通常在求解过程中隐含的自动满足。正是这种原因，第二类边界条件通常称为自然边界条件。

      下面以一维有限元法为例介绍有限元法的基本原理。如图2．1所示为一无限大平板电容器，该电容器的两极板间充有P=F的自由电荷，并假设极板都接在电压为“的电源上，极板距离为2d。很明显，电容器的激励和几何形状都对称于Y轴，使电势在对称轴上沿x方向变化率为零，于是这种对称结构可用齐次诺依曼边界条件来表示。则这个平行板电容器静电场的微分方程为

      下面结合上述平行板电容器的一维静电场求解问题详细介绍有限元法。有限元法求解的第一步是划分单元，即把整体区域划分成若干小区域(或单元)。这里把(O，d)区间分割成五个单元，分别记作e．、e，、e，、e。、e；。划分过程中1、2、和3单元较小，也就是说在这个区域内单元较密，这也体现了单元疏密适当的思想。

      通常划分的区域越多，则解的精度越高，当然计算量也就越大，计算时间越长。划分单元的大小可以不同，视具体情况而定，如场分布比较密， 那么采用较小的单元以更多的单元划分密的区域。划分后的区域由不同尺寸的四个单元和五个节点表示，如图2．2所示。每个节点上的电势分别记作死、≯：、九、≯。和九。而每个单元由相邻两个节点所限定，单元中的值采用单元节点值进行线性插值得到。

      介于节点f和i+1之间单元上的势函数矿。由节点i和i+1上的势函数≯，和≯。及相应的形函数妒，和≯。所表达，如式2．25所示。形函数在微分方程求解的变分法和加权余数法中称为尝试函数，在有限元法中它主要体现了插值函数的形状。