关于电抗器电磁场与三维涡流场的研究

       一、电磁场数值计算方法的发展概况
      自1864年著名的Maxwell方程组发表，至今己有一百多年的历史。电抗器电磁场计算的发展与数学知识的发展和应用密不可分，从经典的微积分到张量分析、矩阵计算、特征值理论、泛函分析方法、复变函数理论和积分方程理论都被引入到电磁场理论的分析中。

      在计算机技术发展以前，工程问题的解决主要依赖于解析法和场化路的简化法，这些方法在电工产品的设计中曾起了重要的历史作用。但是，大量的工程问题包含了复杂的几何、物理参数，对此解析法和简单的场化路的方法是无能为力的。1960年后，电抗器电磁场数值计算技术随着计算机技术的发展日新月异，各种电磁场数值计算方法相继发表，如有限差法、有限元法，边界元法、矩量法以及数值法与解析法或不同数值法之间的耦合等。

      有限差分法是应用最早的一种方法．20世纪50年代以来，有限差分法以其数学概念清楚、形成系数矩阵十分方便等特点，在电磁场数值分析领域内得到了广泛的应用。但有限差分法的规则网格不能满意地模拟几何形状复杂的问题，而在电工设备中的电抗器电磁场却往往是以包含复杂的几何形状和不同材料的物理参数为特征，因此有限差分法在电磁场分析中的应用逐渐被有限元法替代。

      二十世纪60年代末，P．Silverer和M．v．K．Chaff把有限元法引入到电磁计算中，这是电磁场数值分析中的一个重要转折点。有限元法以变分原理为基础，用剖分插值的办法建立各自由度间的相互关系，把泛函的极值问题转化为一组多元代数方程来求解．它能使复杂结构、复杂边界情况的边值问题得到解答。

      最近20年，由于数值处理技术的提高，例如采用不完全Cholesky分解法、ICCG法、自适应网格剖分等方法，使得有限元法在电场数值计算中越来越占据主导地位。其突出特点在于：(1)场域离散化过程保持了明显的物理意义；(2)解题能力强，这主要表现在：能够处理边界几何形状复杂、场域中存在多种媒质的问题；对于第二和第三类边界不必作单独处理；能够自动满足不同媒质分界面上的边界条件；离散点分布具有随意性；计算精度较高；程序通用性强；(3)从数学上讲，有限元法拓宽了微分方程的求解方法，推动了泛函分析、计算方法的发展。

      因此，自有限元法诞生以来，在各个学科与工程领域内，该方法得到了极其广泛的重视和应用，产生了大量有价值的研究成果。80年代初期，由Nedelec、Bossavit和Verite开创的棱边有限元法，在交接处理、解的稳定性、计算代价等方面显示出了巨大优势，成为有限元发展中新的成就之一。有限差分法和有限元法都属于偏微分方程法。而边界元法则是在经典的边界积分方程法基础上发展起来的。积分方程法由C．W Trowbridge于1972年提出，并给出了二维、三维问题的离散形式。

      由于积分方程法的离散仅需在源区进行，所以能较好地解决开域问题以及连续计算场的问题．1976年出现了以积分方程法为基础、能解二维、三维非线性恒定磁场的软件包GFUN。如果采用格林定理，把描述场的第二类Fredlholm积分方程在一定条件下转化为边界积分方程，积分方程法就成了边界元法。1979年，Lean、Friedman和Wexler用“边界元法”这个名称系统地介绍了它在各种电抗器电磁场分析中的应用。目前，边界元法不仅在固体力学问题上得到广泛的应用，而且在电磁学、热传导等领域也得到应用，已经成为电磁场数值计算方法的主要方法之一嘲。

       二、目前，电抗器电磁场数值分析大体上出现了以下几个发展趋势：
       (1)原有方法的不断完善和改进。如三维运动电磁系统的并行处理和耦合问题、各种几何建模方式的改进、有限元周期边界的新处理方法、网格快速可靠全自动自适应生成、后验误差估计与自适应新方法、有限元分片多项式方法以及三维涡流的三分量边界元法等。

       (2)耦合方法的研究与应用也越来越广泛。如有限元法与边界元法的耦合、有限元法与模拟电荷法的耦合、有限元法与积分方程法的耦合、有限元法与多重网格法的耦合等。近年又出现边界元与多极理论耦合法、保角变换与边界元法的耦合、等效源与矩量法的耦合、有限元级数耦合法以及全日棱边有限元与边界元耦合算法等。耦合法能实现不同方法的优势互补，解决多子域、多连通域的复杂问题。

      (3)新方法的开发应用以及新技术的不断融入。比如棱边有限元法、叠层有限元法、有限元的外推插值法、无限元法、针对时变电磁场涡流及趋肤效应研究提出的表面阻抗法等。神经网络和小波分析在电磁场中的应用日益增多，比如已经出现的“小波伽辽金”有限元法、插值小波在差分法中的应用、小波神经网络在电磁场优化中的应用、遗传算法、模拟退火算法在电磁场逆问题中的应用、以场矢量沿单元棱边的线积分为求解变量的棱边单元法等一些新方法。

      三、三维涡流场研究现状
      磁场根据其变化速度分为三大类，即静磁场、涡流场(准静态场)和高频场。三维静磁场计算目前较成熟，高频场计算有其特殊性，出现了相应的一些新方法，而涡流场的计算是一个经典问题。它的分析较之静态电磁场的分析复杂，困难在于涡流场的计算规模大，以至于有些实际闯题的求解在现有计算机上还难以进行，这除了电磁场随时间变化之外，还有如材料的非线性、磁滞等因素的影响。因此三维涡流场的求解问题至今仍然是电磁场学术界研究的前沿课题之一。

      二十世纪八十年代以来，国际电磁场数值计算界对三维涡流场的计算进行了仔细、深入的研究，给出了描述祸流场的多种方法I刀。所采用的方法为以场矢量为变量的直接法以位函数为变量的间接法两类。直接法指在方程求解中直接以电场强度矢量层和磁场强度矢量日等电磁场量为求解对象的方法，如Bossavit提出的H．oriented和E．oriented对偶解问题。在国内，程志光博士应用E-v方法于电力变压器电磁场研究，很好地解决了工程实际中的问题。直接法的优点在于能保证解的唯一性，精度较高，缺点是未知量较多，边界条件的处理比较繁杂，方程计算量大。

      因此，对计算机的性能要求较高。间接法以位函数为求解变量，具有灵活、方便的优点，是目前被广泛采用的方法。间接法的首次提出是在1981年的COMPUMAG会议上由ChaffBiddlecombe和Morisue等人分别提出的，其核心是用磁矢量位4来描述全部场域(包括涡流区和非涡流区)，用标量电位妒来描述导体区涡流的A，妒4法。该方法最大的优点是不需要进行交界面的处理，而且计算精度较高，可用于含有多连域导体区的情况，但未知数个数较多，求解变量较大。

      与基于矢量磁位4的算法相对应的是一种基于矢量电位r的算法引。与4妒4相对的算法为T，妒．1I法，妒为标量磁位。该方法既不需要进行交界面的处理，又可以节省计算机资源(在非涡流区采用了标量磁位妒)一是一种较好的方法。但它不适用于多连通域的情况。A法和r法都是基于有限元法的基本方法。在这两种方法的基础上，随着计算机技术以及电磁场数值计算理论的发展，不断提出了一些改进的方法。如可将源电流归入涡流区的A，妒．妒法；用矢量磁位A描述多连通域中的孔，耦合矢量磁位与矢量电位的r，妒法。   

      此外随着边界元技术的发展，非涡流区的微分方程可以转化为涡流区边界积分方程进行求解。如在涡流区采用，为求解量，在非涡流区采用磁场强度日为求解量的有限元与边界元耦合法；以及在涡流区采用A和舻为求解量，交界面上用A为求解量的Aq,-A有限元与边界元耦合法。

      此外还有用棱边与节点有限元耦合的曰一E一妒法；直接用电密_，计算导体三维涡流场的FE．BE耦合法；用日棱边的有限元法；三维瞬态涡流场混合日一妒法等。9dsl从当前电抗器电磁计算的发展前沿来看，有限元法仍被认为是最有效、应用最普遍的一种数值计算法。有限元法不仅本身在应用方面具有很大的潜力，而且易与其它理论和方法如自适应网格剖分、耦合问题、开域问题、高磁性材料及具有磁滞及饱和非线性特性介质的处理等相结合，有着广阔的发展前景。新方法、新技术的不断应用，进一步开拓了有限元法的应用范围，也适应了更复杂的、精确度要求更高的问题求解之需要。